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Ebenso, wie die komplexen Zahlen in die Summe der gültigen und scheinbaren Teile zerlegt werden, kann man in die Summe q = x + (yi + uj + vk) auch auslegen. Erstes heißt abgelegt in dieser Zerlegung vom Skalarteil, und zweites – den vektorielle Teil. Der Skalarteil ist eine einfach gültige Zahl, und der vektorielle Teil kann vom Vektor r = yi + uj + vk im dreidimensionalen Raum dargestellt sein, wo i, j, k wir wie einzeln des Vektors des rechteckigen Koordinatensystems jetzt betrachten.

Mit den Punkten auf der Ebene ist es komplizierter. Wir wählen zwei Achsen und den Anfang des Abzählens. Für jeden Punkt der Ebene ist ihre Koordinaten (x gegenübergestellt; y). Dieses Paar wird von der Dublette heißen. Um die Dublette die Zahl zu machen, muss man "zusammenzulegen" lernen und, sie entsprechend den Eigenschaften der Addition und der Multiplikation "zu multiplizieren".

Die Aufgabe schien unkompliziert zuerst. Die Vektoren zusammenzulegen folgte nach der Formel (. Es blieb übrig die Formel der Multiplikation, die der Formel ähnlich ist zu finden, (. Aber Hamilton versuchte erfolglos, die Formelen für die Multiplikation auszuwählen.

sind Vieren der gültigen Zahlen (x; y; u; v), die bequem, in der Art q = x + yi + uj + vk aufzuzeichnen, wo i, j, k – die neuen Zahlen, die das Analogon die scheinbare Einheit in den komplexen Zahlen sind. Es ist, dass die Zahlen i erforderlich, j, k befriedigten den folgenden Verhältnissen:

Bei der Multiplikation verhält sich die Sache komplizierter. Wenn und – skalar-, so ihr Werk auch skalar-. Für den Fall, wenn = – skalar-, und = r – vektoriell, das Werk vektoriell ist, und die Operation der Multiplikation stimmt mit der Multiplikation des Vektors r im Raum auf die gültige Zahl x überein.

Der Optimismus wurde von der Skepsis ersetzt. Am Anfang unseres Jahrhunderts der Mathematik haben aufgehört, sich zu interessieren. Aber die Zeit ging, und Physiker suchten den mathematischen Formalismus für einige Effekte hartnäckig, die mit sogenannte die elementaren Teilchen verbunden sind. haben die Anerkennung wieder gefunden, wenn ihre Rolle in der Konstruktion verschiedener geometrischer Umgestaltungen des Raumes, die in der Quantenphysik verwendet werden verstanden war. Die geometrischen Eigenschaften ist ein besonderes großes Thema.

Wie es aus der letzten Formel sichtbar ist, ist der Skalarteil des Werkes dem Skalarwerk der Vektoren und mit dem Rückzeichen gleich. Der vektorielle Teil ist unser alter Bekannter – das vektorielle Werk, das in den Koordinaten aufgezeichnet ist.

Aber es steht das Problem der Umwandlung der Punkte des Raumes in die Zahlen auf. Hier werden wir das Koordinatensystem wieder einführen und wir werden die Punkte in Form vom Satz schon drei Koordinaten (x aufzeichnen; y; z). Diese bilden sich sogenannt auch es ist koordinaten-:

So wird jeder q in Form von der Summe q = x + r, wo x – der Skalarteil q, und r – der vektorielle Teil vorgestellt. Wenn r = 0, so heißt q = x und q skalar-. Wenn x = 0, so heißt q = r und q vektoriell.